Cómo invertir en bolsa con ayuda de un dado

Una de las desventajas de ser adulto es la necesidad constante de tomar decisiones que pueden mejorar o empeorar tu situación. Que se lo pregunten a nuestros políticos, por ejemplo.

Vamos a jugar un rato que nunca viene mal, ¿no? Supongamos que alguien nos plantea el siguiente juego en el que has de pagar 12€ para poder participar:

“Tira un dado icosaédrico, con 20 caras numeradas del 1 al 20. A continuación, puedes elegir entre cobrar tantos euros como indique la tirada o pagar un euro más y tirar de nuevo (para volver a empezar).”

Me explico, si escoges la opción de pagar un euro y seguir tirando es como si volvieras a la casilla de salida (pero con un euro menos) y puedes volver a escoger entre las dos opciones.

¿En qué condiciones es preferible quedarse con el dinero y en cuáles seguir tirando?

Está claro que lo mejor que te puede pasar es que te salga 20 en la primera tirada, esa sería la ganancia óptima. Pero, ¿y  en otro caso?

Analicémoslo porque, aunque esto sea un simple juego de dados, lo curioso es que el análisis de algo tan simple como lo que hemos planteado puede ser fundamental para entender las dinámicas de fenómenos como la bolsa.

Efectivamente, en cada momento en la bolsa debemos tomar una serie de decisiones que pueden ser muy semejantes a las que se plantean en este juego. En él, debemos decidir si merece la pena seguir apostando y volver a tirar el dado o plantarse y recoger las ganancias (o pérdidas).

Así que veamos cómo se ha de jugar. Hay dos elementos iniciales que hemos de tener en cuenta para nuestro análisis. El primero de ellos puede parecer un poco contraintuitivo: en cada momento lo que debemos intentar hacer es maximimizar las ganancias a partir de ese instante, por lo tanto, lo hecho anteriormente no tiene ninguna importancia.

En otras palabras, la decisión de seguir o no se debe tomar solo y exclusivamente en función de la tirada que ha salido en ese momento y no depende del dinero invertido (perdido) hasta el momento.

El segundo elemento es un poco más complejo, aunque menos contraintuitivo, para verlo empecemos con el caso más sencillo. Si nos sale 20, como hemos dicho, hemos de parar y cobrar los 20 euros ya que es imposible mejorar en el futuro (lo mejor que nos podría pasar es que en la siguiente tirada saliera 20 de nuevo, pero eso supondría que cobraríamos 19€ en lugar de 20€).

Pero si nos sale 19 también hemos de parar y cobrar, porque lo mejor que nos podría pasar si seguimos jugando es que nos saliera 20 en la siguiente tirada y el beneficio sería el mismo. Lo que ya  no está tan claro qué hacer si nos sale 18.

En función de todo lo dicho hasta el momento, podemos afirmar el segundo elemento fundamental en nuestro análisis: debe existir un valor ideal, un umbral, de tal forma que si sale un número superior a dicho umbral, entonces paramos y si sale un número por debajo de dicho umbral, hemos de pagar un euro y seguir. Se trata de encontrar dicho umbral.

Aviso: vienen curvas. Para lo que sigue hacen falta muchas matemáticas: ecuaciones y hasta derivadas. Pero no se asuste el lector demasiado, las cuentas que vienen son relativamente elementales.

Supongamos que el umbral es U y vamos a tratar de encontrar qué cantidad debemos esperar ganar si aplicamos dicho umbral (es decir, si paramos de jugar cuando nuestra tirada sea mayor que U o  seguimos en otro caso).

Naturalmente, para simplificar nuestro análisis, obviamos los 12€ iniciales: si el valor esperado (esperanza)  anterior es mayor que 12€, entonces merecerá la pena jugar y en otro caso no. Pues bien,  la esperanza en función del umbral la podemos calcular de la siguiente forma.

Llamaremos E a la que cantidad de dinero que se gana de media con el umbral U.  Si nos sale una tirada inferior o igual a U (la probabilidad de ello es U/20, hay U resultados posibles menores o iguales que U) tendremos una esperanza de ganar E-1 euros (ya que hemos de seguir tirando).

Pero si nos sale una tirada mayor que U (con una probabilidad (20-U)/20) entonces como nos puede haber salido cualquiera de los valores entre U+1 y 20, el valor medio esperado es justo la media entre U+1 y 20, esto es: (20+U+1)/2.

Así que la esperanza (que se calcula sumando los producto de los valores obtenidos por la probabilidad de obtenerlos) de ganar cuando hemos fijado el umbral U es:

Ya ha pasado lo peor. En esta fórmula solo queda despejar la E y nos queda:

Ahora podemos tomar dos vías: una derivar para obtener el máximo de la función y la otra dar valores a U de 1 20 y tomar el valor que nos de un E mayor.

Naturalmente las dos vías conducen a la misma solución y es que el umbral óptimo es U=14. Esto es: si nos sale 15 o más, cobramos, si nos sale 14 o menos, pagamos un euro y seguimos jugando.

¿Cuál es el valor de la ganancia esperada en el juego si U=14? Pues basta con usar la fórmula anterior y vemos que para U=14 tenemos que E=15,167 (En realidad, E=15+⅓).

Eso quiere decir que si pagamos los 12€ iniciales, nos merecerá la pena jugar y que el valor esperado de nuestras ganancias (si aplicamos la estrategia ganadora de seguir jugando hasta que nos salga 15 o más) es de 15,167-12=3,167€.  Lo cual no está nada mal: un beneficio cercano al 28% de nuestro valor invertido.

Pues nada, ya están listos para invertir en bolsa. Tengan cuidado ahí afuera.