De cómo las matemáticas trolean a la lengua (y viceversa)

Las matemáticas y la lengua son dos de las disciplinas fundamentales en todo sistema educativo. Las matemáticas constituyen el lenguaje de toda la ciencia y la tecnología y con la lengua no sólo nos comunicamos, sino que nos permite ordenar nuestros pensamientos, también cuando hacemos matemáticas... o muy especialmente cuando hacemos matemáticas.

De hecho, mantengo  que uno de los fallos fundamentales asociado al fracaso en matemáticas es la comprensión lectora: leer un problema y traducirlo a ecuaciones implica una profunda comprensión del texto y saber extraer los datos fundamentales que ayuden al planteamiento matemático del problema.

Pero existe un pequeño conflicto: a veces el lenguaje puede llevar a contradicciones o paradojas difíciles de resolver como la que encierra "esta frase es mentira". La sentencia anterior es una muestra de que se pueden proponer enunciados perfectamente construidos desde el punto de vista gramatical y de la semántica a los que, sin embargo, no podemos asignar un valor de verdad según las reglas de la lógica matemática.

Este tipo de paradojas surge porque la anterior es una frase autorreferente (el enunciado versa sobre ella misma). No vamos a entrar en el mundo de las autorreferencias: el lector que quiera profundizar más sobre el tema debería buscar algunos de los artículos de Douglas Hofstadter en 'Investigación y Ciencia', o si está muy decidido, adentrarse en la lectura de 'Gödel, Escher, Bach: un eterno y grácil bucle', libro que recomendamos a pesar de que se seguro que presenta una de las peores proporciones entre gente que comenzaron su lectura y gente que la completaron.

Alguien puede pensar, sin que le falte la razón, que este tipo de paradojas no son más que elucubraciones de mentes ociosas sin nada mejor que hacer. Aún sin negar lo anterior, sí que es importante saber que la primera versión conocida de esta paradoja se atribuye al filósofo griego Eubulides de Mileto, que vivió en el siglo IV a. C. Ha llovido desde entonces.

Pero, en realidad no queríamos hablar de este tipo de paradojas que se pueden presentar tanto en el lenguaje como en las matemáticas, sino de unas paradojas cuya contradicción puede parecer que reside única y exclusivamente en ciertas carencias o imprecisiones del lenguaje cuando manejamos objetos matemáticos. Veamos de qué estamos hablando

La desconexión de lengua y matemática

Si nos centramos en los números naturales (el 1, 2, 3,...), está claro que algunos como el 2 se pueden definir de manera escueta (por ejemplo, el ”menor par”), o como el 11 sería el menor primo de dos cifras (en el sistema decimal). De la misma forma, el 1729 es el menor natural expresable como suma de dos cubos de forma distinta y, claro, el 1728 es el “anterior al menor natural expresable como suma de dos cubos de forma distinta”.

Ahora pensemos en lo siguiente: el número de palabras en castellano (y en cualquier otro idioma) es finito. Por lo tanto, el número de frases de -digamos- menos de veinte palabras también ha de ser finito (aunque realmente enorme). Entre ese número finito de frases, algunas describirán números naturales (como los ejemplos que hemos puesto) y otras no. Pero podemos deducir que sólo una cantidad finita de números naturales se pueden describir con frases de menos de veinte palabras en castellano.

Ahora bien, los números naturales son infinitos, por lo tanto hay muchos (infinitos) números naturales que no se pueden definir con frases de menos de veinte palabras en castellano. Pero, por otra parte,  es sabido que cualquier subconjunto de los naturales tiene un primer elemento, un número que es el menor (no ocurre lo mismo con el mayor). Por lo tanto, sabemos que existe el menor número natural que no se puede definir con menos de veinte palabras en castellano.

¿Ven lo que ha ocurrido? Efectivamente,  estamos dando una definición de dicho número usando menos de veinte palabras, lo cual es francamente contradictorio. Este es uno de esos desencuentros que mencionábamos en la introducción: cuando las matemáticas y el lenguaje no se ponen de acuerdo.

Esta es la conocida como la 'paradoja de Berry'. Fue Bertrand Russell el primero que la presentó y, según él,  se la había contado uno de los bibliotecarios de la Bodleian en Oxford, llamado G.G. Berry.

Sin embargo, hemos dicho hace unos párrafos que este tipo de paradojas parece que el único problema que presentan son ciertas carencias del lenguaje. Sin embargo, esto no es así. Se puede dar una formulación dentro del lenguaje preciso de la lógica de la paradoja de Berry y lo que es más sorprendente, puede servir para dar una demostración muy simplificada del Teorema de Gödel del que tanto se habla y se aplica sin saber con precisión de qué trata… Pero eso lo dejamos para otra ocasión.