¿Cuántos caramelos hay en este bote?

En 1906 tuvo lugar una feria del ganado en Plymouth (Inglaterra) que ejerció un impacto enorme sobre tres disciplinas como son la estadística, la psicología y la economía y que dio lugar a lo que se ha conocido como la inteligencia colectiva o la sabiduría de las masas. Esta es una de las bases de los métodos colaborativos que han dado lugar a la Wikipedia, por ejemplo.

Durante dicha feria se celebró un concurso que consistió en tratar de adivinar el peso de un buey. El estadístico Sir Francis Galton (podéis ver algunos de sus 'estudios' en esta entrada de Scientia) consiguió los datos de los 800 participantes en el concurso y comprobó que la mediana (el valor que deja al 50% de los valores por debajo y al otro 50% por encima) difería del resultado correcto en menos de un 1%, según se puede ver en su publicación en la revista Nature y que era más precisa que lo dicho por la gran mayoría de los concursantes.

Un pequeño paréntesis para señalar uno de los problemas de los métodos colaborativos: a todos se nos ocurren ejemplos de errores que se propagan por internet y que pasan a ser verdades.

En la misma anécdota del buey de Galton hay muchos ejemplos de esto: en algunos blogs se repite el error de que la feria fue en París y en casi todos los blogs se señala que Galton estudió la media (así como que asistió a la feria, cosa que no se deduce de la lectura del artículo), cuando esto no es del todo cierto: como se puede ver en el enlace, no es sino en las posteriores cartas al editor en las que señala que alguien le ha sugerido la media como estimación del peso del buey (que ese alguien, Mr. Hookes, ha calculado con mucha precisión solo usando unos cuantos valores publicados por Galton, haciendo así uso de un resultado matemático que dice que la media de una muestra se debe parecer a la media del total).

Existen diversos ejemplos del uso de la inteligencia colectiva, tanto a favor como en contra: el comodín del público en el concurso '¿Quién quiere ser millonario?' es un ejemplo generalmente positivo (aunque podemos encontrar también muchas pifias espectaculares de dicho comodín)

Por otro lado, la partida que jugó y ganó Garry Kasparov contra  unos 50.000 ajedrecistas de todo el mundo es un caso negativo.

Pero me quiero centrar en otro de los ejemplos que se suelen poner acerca de la inteligencia colectiva: el de presentar un bote de cristal lleno de caramelos ante un grupo y que cada cual trate de adivinar cuántos caramelos hay.

De nuevo, es sabido que, en general, la media de los resultados dados suele ser una buena estimación al número de objetos contenidos en el bote. Pero no pretendo que se repita ese experimento sino, como en el caso de Kasparov, ganarle a la inteligencia colectiva: tratemos de dar una cifra lo más exacta posible del número de objetos que hay dentro del bote usando un poco de matemáticas, algunas bien conocidas y otras no tanto.

En primer lugar, supongamos el caso más sencillo: que los caramelos son esféricos, como muchas gominolas. Antes de nada tenemos que tratar de estimar el volumen del bote: normalmente los botes son cilíndricos.

Lo ideal es, si nos dejan sostener el bote por un tiempo, es contar el número de caramelos que se ven en la base, eso nos da los caramelos que componen una capa, después tratamos de contar cuántas capas hay más o menos (los caramelos que hay en una altura) y multiplicando ambos números se obtiene una buena estimación.

Normalmente esto no es posible y se comete el error de que los caramelos no se agrupan exactamente en capas, así que podemos intentar estimar los volúmenes. En el caso del bote, sus dimensiones nos suelen dar pistas sobre su volumen (sabemos reconocer una botella de agua de litro y medio, por ejemplo).

Si no es así, tratamos de evaluar en cualquier unidad (puede ser en longitudes de lo caramelos o en centímetros) la longitud del radio de la base (R) y de la altura del bote (h) y el volumen viene dado por la fórmula V_B=πR²h (ten a mano la calculadora del móvil). En esa misma unidad, estima el volumen de un caramelo (si r es el radio del caramelo, su volumen es V_c=(4/3)πr³). Así una primera estimación del número de caramelos sería N=V_B/V_c .

Pero eso implicaría que no hemos dejado ningún volumen vacío, algo que se sabe que no es posible y así hay que encontrar cuánto volumen vacío se ha dejado. Este es un problema antiguo (y muy difícil), ya planteado por Kepler para saber cuál es la forma más eficiente de almacenar bolas de cañón, y se sabe que las esferas ocupan alrededor del 74% del volumen de la forma más eficiente.

No creemos que al rellenar un bote se consiga tal eficiencia y se sabe que, en general, ocupan el 64% del espacio, así que el número de caramelos de verdad es: N=(V_B/V_c)*0,64.

Veamos ahora qué ocurre con nuestros caramelos.

La idea es la misma: tratamos de medir los volúmenes, pero consideramos ahora el factor de empaquetamiento de los caramelos (pongamos unos M&M, por ejemplo), que es un elipsoide y su factor de empaquetamiento es mejor: 75%.

Por si alguien siente curiosidad, después de una búsqueda en internet (por aquello de la inteligencia colectiva), el volumen de un caramelo de M&M es de 0.636 centímetros cúbicos, el diámetro grande viene a ser de 1,04 centímetros y el pequeño de 0,4. Lo curioso es que en el mismo estudio enlazado anteriormente se calcula que el empaquetamiento de M&M suele ser más eficiente y así la fórmula en este caso sería: N=(V_B/V_c)*0,68.

¿Y si en lugar de caramelos tenemos monedas? Eso lo contamos otro día que, por ahora, ya tienen para entretenerse apostando.