¿Cuántos satélites se necesitan para que tu GPS dé con tu posición?

Estoy casi segura de que la mayoría de los usuarios de GPS, que somos casi todos, sospechan que el sistema que permite que este cacharrito nos ubique casi con total precisión en nuestro planeta tiene que ver con satélites artificiales. Y, efectivamente, así es.

El sistema GPS es un sistema que, originalmente, estaba compuesto por 24 satélites (aunque se han lanzado más de 60 dentro del sistema y en junio de 2014 eran 31 los satélites operativos), y es propiedad del gobierno de EEUU. No sé si saben que, a lo mejor, su teléfono no solo tiene capacidad para detectar los satélites de ese sistema sino también los de GLONASS, que es un sistema equivalente pero ruso. Cuestión de gustos.

La pregunta es, ¿cómo saben los satélites dónde estamos en cada momento? La idea es relativamente simple. La posición de cada uno de los satélites es conocida. Así, cuando detectamos un satélite con nuestro teléfono, se sincronizan los relojes de nuestro aparato y del satélite, y podemos medir el tiempo que tarda en llegarnos la señal de este y por tanto, sabiendo que la señal viaja a la velocidad de la luz, podemos determinar a qué distancia está cada satélite del cual recibimos señal válida ¿Sí?

Es decir, que lo que hacemos al detectar un satélite es decirle a qué distancia estamos de él.

Pero con eso no tiene suficiente el satélite para saber dónde estamos. Porque si alguien nos dice que está a, no sé, 100 metros de nosotros, lo que sabemos es que está, como se suele decir, a 100 metros a la redonda. Dicho de otra forma, que nosotros somos el centro de un círculo de radio 100 metros y que quien sea está sobre la circunferencia.

Técnicamente, lo que sabemos en realidad es que esa persona está en la esfera (tridimensional) de centro nosotros mismos y de radio 100 metros. Lo que ocurre es que como supones que la otra persona está en la Tierra -salvo que seas fan de Iker Jiménez-, te quedas con la intersección de esas dos esferas, la Tierra (aunque no es exactamente una esfera) y la de radio 100. Por eso lo del círculo.

Es decir, con un solo satélite no nos pueden localizar. Necesitamos más satélites. ¿Cuántos?

Olvidémonos por un rato de que estamos en la Tierra. Si nos sincronizamos con un satélite, éste nos ubicará sobre una esfera centrada en dicho satélite y de radio nuestra distancia al mismo. Si nos sincronizamos con dos, como cada uno de ellos nos ubicará en una esfera (cada una centrada en el satélite correspondiente), ya pueden deducir que nos encontramos en la zona común de las 2 esferas.

La intersección de dos esferas, en estas condiciones, es una circunferencia.

Por lo tanto, necesitamos más pistas, porque la circunferencia en cuestión puede ser una 'jartá' de grande.

Si nos sincronizamos con otro satélite, este nos ubicará en una tercera esfera (centrada en él y de radio la distancia al mismo). Pues bien, ya saben los satélites que estamos en la intersección de las tres esferas, y la intersección de tres esferas en estas condiciones son dos puntos. Solo dos, ya estamos cerca.

Si ahora, como hemos dicho antes, pensamos que estamos en la Tierra, bastaría con elegir de esos dos puntos cuál está sobre la Tierra y fin. Pero no, porque, por ejemplo, no sabemos a qué altura sobre el nivel del mar nos encontramos. Para afinar mejor con nuestra posición y eliminar fallos en la sincronización entre los relojes del GPS y los satélites, lo que se hace es usar al menos cuatro satélites (el cuarto nos serviría para descartar, de los 2 puntos comunes en la intersección de las tres esferas, el que no es nuestra posición).

Y con esto, ya tienen nuestras tres coordenadas casi con exactitud: latitud, longitud y altitud.

Lo dejamos por aquí. Usen su GPS o pregunten a los lugareños, pero no se pierdan. Les espero aquí el próximo lunes.

P.S. Escribo este artículo después de recibir la triste noticia del fallecimiento de Ferran Hurtado, catedrático de la UPC y una de las figuras más importantes en España en el área de la Geometría Computacional. Mi amigo Ferran. No se ha inventado el GPS que pueda ayudar a todos los que nos sentimos perdidos en estos días. Solo quería aprovechar estas líneas para mostrar mi admiración y agradecimiento a una de las personas con las que más he disfrutado haciendo Geometría. Y al que quería mucho. Mucho. Et trobaré a faltar, Ferran.