Las cuentas infinitas de Ramanujan

Se acaba de estrenar en España 'El hombre que conocía el infinito', una película sobre la vida de Srinivasa Ramanujan, matemático hindú de principios del siglo XX que, a pesar de no recibir una educación formal en las matemáticas de su tiempo y de proceder de una familia muy pobre, es considerado uno de los grandes genios de las matemáticas.

Así fue reconocido durante su corta vida (murió a los 32 años), gracias a que uno de los matemáticos más famosos de su época (y uno de mis favoritos), G. H. Hardy, supo ver su genio a través de una copia de sus cuadernos. En ellos Ramanujan fue recopilando resultados que iba obteniendo, la mayoría igualdades de sumas infinitas o similares.

Algunos de dichos ‘teoremas’ ya eran conocidos anteriormente y habían sido publicados por matemáticos de renombre, pero Ramanujan no los conocía.

Se podrían contar muchas cosas curiosas en la vida de Ramanujan (lo del taxi 1729 es una de las historias más conocidas), pero fuera de esas anécdotas, para el gran público que no sea un matemático profesional es muy difícil apreciar sus contribuciones. Vamos a tratar aquí de explicar alguno de los problemas que le gustaban a nuestro genio hindú.

En realidad, ya antes de ser reconocido en Inglaterra y, por extensión, en el mundo occidental, Ramanujan tenía un cierto nombre en su país natal (entonces colonia británica) gracias a varias contribuciones al 'Journal of the Indian Mathematical Society' (principal medio de comunicación de la recién creada Sociedad Matemática de la India). Entre otras cosas, en dichas contribuciones, él proponía problemas (como hacían otros) y los lectores tenían que remitir sus respuestas.

Uno de los primeros problemas que propuso fue preguntar cuánto vale esta expresión

El joven Ramanujan esperó una solución que no llegó y tuvo que acabar dándola él mismo.

Vamos a tratar de ver esa solución, pero antes vamos a resolver expresiones similares aunque más sencillas. Por ejemplo, ¿cuánto vale esta otra expresión?

Hay dos métodos para intentar resolverla, uno de ellos, el más utilizado por matemáticos aficionados, es escribir...

Al hacer eso se observa que, como los puntos suspensivos significan que se repiten infinitas veces, lo que hay después del primer 2 es exactamente lo mismo que tratamos de calcular, así que:

A partir de aquí ya es sencillo: elevamos al cuadrado y despejamos, utilizamos la fórmula de la ecuación de segundo grado obtenemos que x ha de valer -1 ó 2. Como la expresión anterior es positiva, deducimos que x vale 2. Técnicamente tendríamos que probar que efectivamente la expresión anterior “converge” a un valor, pero ya decimos que eso no deja de ser un tecnicismo que el propio Ramanujan solía obviar en estos casos.

Pero existe otra forma de llegar a la misma conclusión, otra forma que era la favorita de Ramanujan y que explotó de manera genial:

Tenemos que , pero el último 2 dentro de la raíz lo podemos volver a sustituir por su valor de , para obtener  y, de nuevo, volvemos a sustituir el último 2 de la expresión de la derecha para obtener esto

Si repetimos este proceso infinitas veces obtenemos que:

Si en vez de partir de la expresión partimos de otra, obtendremos resultados similares. En concreto vamos a utilizar una expresión que es muy fácil de comprobar que es cierta (desarrollando ambos miembros):

Luego, si tomamos raíces cuadradas obtenemos:

Hasta ahora no son más que expresiones relativamente sencillas de comprobar. Pero la magia ocurre si vamos dando valores a p. Primero vemos qué ocurre si fijamos p como 2:

Pero el (n+3) de dentro de la raíz lo podemos sustituir ya que sabemos que

Así que, si sustituimos (n+3) en la expresión de (n+2) obtenemos:

Ahora podemos sustituir el (n+4) y obtenemos:

El siguiente paso sería sustituir (n+5), y así sucesivamente hasta obtener:

Si ahora hacemos n=1 obtenemos:

¡Tachán! Es justamente el resultado del problema que propuso Ramanujan y que nadie supo resolver.

En realidad, él había obtenido un resultado ligeramente más general, ya que en el primero de sus cuadernos que hemos mencionado al principio, expone la siguiente fórmula:

Animo al lector a ver qué valores de x, n y a permiten deducir a partir de esta fórmula

No quiero terminar sin resaltar qué ocurre cuando en las raíces anidadas sólo ponemos el número 1. Esto es: ¿cuánto vale?

Utilizando el mismo truco que vimos para la expresión similar para el 2, tenemos que:

Elevando al cuadrado y resolviendo la ecuación de segundo grado (nos quedamos solo con la raíz positiva por las razones expuestas antes) obtenemos que:

Y ¿qué tiene de particular? Pues que es el número áureo que aparece en todas partes, tanto en la naturaleza como en el arte.

Maravilloso, ¿no? Pueden llorar, yo lloré cuando me lo contaron.