Elemental, querido Watson, es geometría

Con todos los casos de corrupción que nos rodean últimamente en nuestro país no estaría de más tener de nuestro lado a algún Sherlock Holmes que encontrara, no sé, por ejemplo algún disco duro perdido a algún sobre con señas, aunque ya no estuviese dentro el dinero, ¿no les parece?

Hablando del detective inglés y, ¿cómo no?, de matemáticas que es lo que más me gusta, vamos a explicar una técnica detectivesca para deducir la trayectoria de una bicicleta. Ya sir Arthur Conan Doyle incluyó este tipo de investigaciones en la trama de uno de los relatos cortos de Sherlock Holmes, 'La aventura del colegio Priory'. En esta ocasión, la deducción del excéntrico protagonista de los libros de Doyle venía al tratar de adivinar en qué dirección se había movido la bicicleta de un chiquillo:

“No, no, querido Watson. La impresión más profunda es, naturalmente, la de la rueda de atrás, que es donde se apoya el peso del cuerpo. Fíjese en que en varios puntos ha pasado por encima de la huella de la rueda delantera, que es menos profunda, borrándola. No cabe duda de que venía del colegio. Puede que esto tenga relación con nuestra investigación y puede que no, perolo primero que vamos a hacer es seguir esta huella hacia atrás”

Efectivamente, querido Holmes, normalmente, la rueda de atrás soporta más peso y la trazada de la rueda trasera puede pasar por encima de la delantera y no a la inversa. Pero lo que no veo tan claro es que con esos datos nada más seamos capaces de determinar el sentido en el que viajaba, salvo, claro está, que existan otro tipo de huellas, como salpicaduras que marcan siempre la dirección en la que nos movemos.

Otro gallo hubiera cantado si el señor Holmes hubiese sabido un poco más de matemáticas, porque sí que existe una forma de determinar con precisión en qué sentido se desplazó una bicicleta estudiando sus huellas y, más aún, la distancia entre las ruedas de la misma. ¿Cómo? Con un poco de geometría básica, nada más.

Para ello, hay que saber que la recta tangente a la curva descrita por la rueda trasera en cualquier punto siempre corta a la curva que ha dejado impresa la rueda delantera. Por si alguien no lo recuerda, la recta tangente a una curva en un punto es una recta que pasa por ese punto y tiene la misma pendiente que la curva.

Recta tangente a la curva en en punto P

Pues bien, solo con esto, ya sabemos que en la siguiente figura, la huella roja es la de la rueda delantera.

Claro, la roja no puede ser la rueda trasera porque en algunos puntos, la tangente a la curva roja no corta a la curva azul, como se ve en la siguiente figura.

Por lo tanto, la roja es la huella de la rueda delantera. Pero, como decía aquel ratón, no se vayan todavía, aún hay más. Si trazamos la tangente a la curva azul en 2 puntos, como en la figura siguiente, vemos que la longitud del segmento (en verde) hacia la izquierda desde esos puntos y hasta encontrar la curva roja en ambos puntos, mide lo mismo, mientras que la longitud del segmento (en amarillo) hacia la derecha desde esos puntos hasta la curva roja varía

¿Qué deducimos de esto? Elemental, querido Watson: que la bicicleta iba de derecha a izquierda y que la longitud del segmento verde es exactamente, la distancia entre las dos ruedas de la bicicleta.

¡Anda que no! Si es que con un poco de matemáticas y un mucho de sentido común somos capaces de descubrir lo que queramos. O no, pero, ¿y lo bien que nos lo pasamos?

Por cierto, ¿saben que en los libros de Sherlock Holmes no aparece nunca la fracesita de marras? Sí, la de “elemental, querido Watson”. Ya, es conocido, pero por si quedaba alguien que no lo supiera.

Nota: Esto lo descubrí en la página de Wolfram en la que, además, podéis encontrar más ejemplos para practicar vuestras dotes detectivescas.