En las estrellas no está escrito el futuro pero sí bellos problemas de Matemáticas

Hace unas semanas, en este mismo portal se hablaba de cómo los signos zodiacales con los que nos han estado bombardeando están mal calculados. Este tema me preocupa puesto que parece absurdo que alguien pueda llegar a pensar que el hecho de haber nacido bajo algún signo zodiacal concreto pueda determinar su suerte, su rendimiento en el trabajo o, incluso, no te lo pierdas, sus éxitos amatorios. Pero ahí siguen.

Lo que sí me parece bastante normal es la necesidad humana, tanto en la antigüedad como en los días actuales, de buscar patrones en el caos. Nos gusta, y lo necesitamos.  Para sentirnos seguros, para tener la sensación de que lo controlamos todo. Supongo que fue esa debilidad humana la que hizo que mirasen al cielo y agruparan estrellas que les sugerían formas de animalitos, de la misma forma que cuando miramos las nubes buscamos formas o tratamos de encontrar un patrón o un ritmo en el romper de las olas en la orilla del mar. Sí, yo lo hago. Y de pequeña hasta pensaba que en función de lo seguidas que llegaran, tendría suerte ese día o no.

Pero ya tengo casi 43 años y sé que ni los animalitos de estrellas, ni las nubes, ni las olas tienen que decir nada sobre nuestro futuro.

Sí, es humano buscar patrones en el caos, clasificarlos y ponerles un nombre. Eso no está mal, en mi opinión. De hecho, dos matemáticos a los que admiro, Ramsey y Erdős, sostenían que el desorden completo es imposible. Más aún, existe una rama de las matemáticas llamada Teoría de Ramsey que se centra en estudiar bajo qué condiciones debe aparecer el orden (o un patrón). Por ejemplo, si miramos al cielo, ¿cuántas estrellas son necesarias para asegurar que hay un cuadrilátero?

Esta es fácil, son cuatro, claro.

Pero, ¿y si pedimos que ese cuadrilátero sea convexo? Es decir, que sea un cuadrilátero tal que si tomo dos puntos dentro de él, el segmento que  une a dichos puntos no se sale del cuadrilátero.

¿Cuántas estrellas necesitamos agrupar para asegurar que cuatro de ellas formaran un cuadrilátero convexo?

La respuesta es cinco, y es una respuesta que me encanta porque... es muy romántica. Sí, lo es, no me he vuelto loca. Creo. Este resultado se conoce como El problema del final feliz (así lo bautizó Erdős) porque fue resuelto por Esther Klein y George Szekeres, dos matemáticos húngaros que a partir de este trabajo se enamoraron y se casaron. No me negarán que es una historia bonita, ¿eh?

¿Cómo lo demostraron? Pues habrá que estudiar todas las posibles configuraciones de cinco puntos (o estrellas), pero, básicamente, se reducen a tres: un triángulo con dos puntos dentro, un cuadrilátero convexo con un punto dentro, o un pentágono. Como en la siguiente figura:

Pues bien, en cualquiera de estas 3 circunstancias, es posible dibujar un cuadrilátero convexo. En el caso en del  triángulo, basta con tomar los dos puntos internos al mismo y dibujar la recta que pasa por ellos (la que está en rojo en el dibujo). Ahora, miramos en qué lado de la recta roja han quedado dos vértices del triángulo, en el otro lado, sólo quedará uno. Ya está, con esos dos vértices del triángulo y los dos puntos interiores, ya tenemos un cuadrilátero convexo. Me encanta, de verdad.

Éste es un ejemplo sencillo del tipo de problemas que aborda la Teoría de Ramsey, pero los hay muy, muy complicados, pueden creerme.

Por ejemplo, ¿cuántas estrellas creen que necesitaríamos agrupar  para asegurar que, en ese grupo, se puede dibujar un pentágono convexo?

Efectivamente, nueve puntos. Esto es un pelín más difícil de demostrar, pero para aquellos que desconfían, cosa que agradezco porque no hay que creer sin evidencias, aquí tenemos un ejemplo con ocho estrellas en el que no se puede encontrar un pentágono convexo (recuerdo que convexo significa que si elijo dos puntos dentro de él, el segmento que  une a dichos puntos no se sale del pentágono).

Para asegurar un hexágono convexo, ¡se necesitan 17 puntos!  Sí, eso también es complicado de demostrar; de hecho, se logró gracias a la potencia de los ordenadores, generando todas las combinaciones posibles de 17 puntos.

¿Ven? Se puede mirar a las estrellas, buscar formas o patrones, darle nombre a una rama de las Matemáticas y disfrutar de la belleza de estos problemas sin necesidad de atribuir poderes mágicos o divinos a las estructuras encontradas. O simplemente, mirar a las estrellas y embobarse pensando en lo inmenso del universo, en lo pequeñitos que somos... y la lata que damos. Algunos más que otros, claro.