Fractales: el concepto matemático que se describió mirando al mar

Pasado el ecuador de agosto y mirando de reojo al inminente septiembre aún nos quedan unos días (a algunos) para seguir mirando al mar, como decía Jorge Sepúlveda, bajo el palio de la luz crepuscular, cuando el cielo va perdiendo su color. Y si no divisan ni un lejano barquichuelo que mirar, siempre pueden observar la línea de costa y recordar que fue así como Benoit Mandelbrot se inspiró y describió esos objetos mágicos y maravillosos: los fractales.

Efectivamente, nuestro amigo Benoit Mandelbrot, matemático franco-americano nacido en Polonia, se preguntó un día, allá por 1967, cuánto medía la costa de Gran Bretaña. A cada uno nos da por algo, eso es así. Y es que la pregunta no era fácil de responder debido, principalmente, a la geometría sumamente irregular de las costas en general y la de las británicas en particular.

Lo primero que tendríamos  que elegir es la unidad de medida que vamos a utilizar y fue, ahí, en ese punto, donde Mandelbrot se encontró una aparente paradoja: cuanto más pequeña era la unidad de medida usada para medir la costa, más medía esta. Creo que la siguiente ilustración explica muy bien esta afirmación.

Imaginemos que nuestra unidad de medida es una regleta de madera. Si la regleta es de 200 kilómetros la costa mide, aproximadamente, 2.400 km. Pero si tomamos una regla que mida la mitad, 100 kilómetros, llegaremos a la conclusión de que la costa mide, en realidad, unos 400 kilómetros más. Casi 'ná'. Más aún, si tomamos como unidad de medida una regleta que mida la mitad que esta última, nos saldrá una longitud total de la costa de 3.400 kilómetros, es decir, 1.000 más que con la primera regla. Lo que disfrutarían los especuladores urbanísticos de nuestras costas...

Si sigo tomando reglas (unidades de medida) cada vez más pequeñas, la longitud de la costa seguirá aumentando ¿hasta infinito? ¿Puede un objeto de área limitada una longitud infinita de perímetro? ¿Qué pasa aquí?

Lo que intuyó el amigo Benoit de esta observación era que existían objetos geométricos que las matemáticas aún no habían sabido describir. Esos objetos, a los que un poco más tarde él llamó fractales, eran objetos que no tenían por qué tener una dimensión entera, esto es, que no tenían que tener dimensión 0, como un punto, dimensión 1, como una recta, dimensión 2, como un plano… Los matemáticos entendemos como dimensión de un espacio como el número mínimo de coordenadas necesarias para identificar un punto en él. Por ejemplo, en el plano, son dos coordenadas, ya sean las cartesianas (las de los barquitos) o las polares (las de los piratas).

Observó, además, que estos objetos, los fractales, eran autosimilares, o lo que es lo mismo, que si tomábamos un trozo de ellos y hacíamos zoom sobre él y nos acercábamos lo suficiente, volveríamos a encontrar esa misma forma (la del trozo) repetida una infinidad de veces. Dicho de otra forma, nuestro fractal presenta la misma estructura en cualquier escala a la que lo observemos.

Creo que esto se entiende mejor si piensan en la corrupción en este país: a cualquier nivel (nacional, autonómico, provincial, municipal) se puede encontrar la misma estructura. Es lo bueno de esta vida, que nos da ejemplos para ilustrar todo, hasta los fractales...

¿Qué es, entonces un fractal? En pocas palabras, es un objeto autosimilar, es decir, su forma está compuesta por copias más pequeñas de ella misma.

Me parece que como mejor se entiende el concepto es construyendo uno. Hay muchos ejemplos simples de construir, pero vamos a centrarnos en uno de los más populares y simples: la alfombra de Sierpinski.

Comenzando con un cuadrado, lo dividimos en nueve cuadrados iguales y recortamos el cuadrado central al más puro estilo De Guindos. A continuación, hacemos lo mismo con los ocho cuadrados restantes, esto es, los dividimos en nueve cuadrados y recortamos el central. A los 64 cuadraditos restantes le hacemos lo mismo, dividir en nueve y recortar el central.

Y así sucesivamente, hasta que nos cansemos, o hasta que lleguemos a una imagen de la alfombra que nos parezca suficientemente bella. Aunque podríamos repetir el proceso infinitas veces, claro. Lo más alucinante de esta alfombra es que tiene área igual a cero y perímetro ¡infinito!

Si les apetece, en el CosmoCaixa de Barcelona podrán ver la alfombra de Sierpinski más grande del mundo construida por miles de niños, gracias a @MagoMoebius.

Si hacemos una construcción similar en tres dimensiones, recortando cubos en lugar de cuadrados, llegaríamos a la esponja de Menger, otro conjunto fractal que tiene una superficie infinita y al  encierra un volumen cero.

Otro fractal menos conocido pero que me resulta fascinante por su simplicidad y la belleza intrínseca que encierra es el fractal de Fibonacci, en el que la famosa sucesión (la de Fibonacci) va apareciendo de forma casi mágica durante la construcción del mismo. Mi amiga Mati lo describió aquí, la sucesión y el fractal.

Aunque, posiblemente, no haya fractales más bellos que los conjuntos de Julia...