En el 'gordo' de Navidad no hay ni números ni administraciones especiales

En estos días es fácil encontrar referencias sobre los números más demandados en la lotería. La gente pide boletos con la fecha de la muerte de Lina Morgan, de Pedro Zerolo o del accidente de Germanwings suponiendo que si ocurrió algo malo asociado a esos números, para compensar debería tocar la lotería a uno de ellos. Nada más lógico, ¿verdad? Lo normal..

Los matemáticos nos cansamos de repetir que todos los números tienen la misma posibilidad de salir -muy poca-, independientemente de si marcan el terremoto de Nepal o la fecha del segundo triplete del Barça.

Y que tampoco importa dónde los compremos, que algunas administraciones dan más premios simplemente porque venden mucho, pero el hecho de que la administración en la que compraste tu décimo dé el 'gordo' no te garantiza absolutamente nada. De hecho, si te empeñas en comprar mejor que sea en la administración de tu pueblo o barrio, así aumentará la riqueza en tu entorno y en algo sí que te puedes llegar a beneficiar aunque de forma tangencial.

Números 'mágicos' para los matemáticos

Pero los mismos matemáticos, olvidando la lotería, también sentimos predilección por ciertos números: el 2 que es el único primo par, o ¿qué decir de π? Es evidente que 10 se distingue por ser el primero que requiere dos dígitos en el sistema de numeración más extendido, pero ya es un poco más de nota saber que 341 es el primer pseudoprimo de Fermat en base 2 (un número es pseudoprimo de Fermat si no es primo pero pasa una prueba que verifican todos los primos -aunque también algunos otros números-). Es muy 'nerd', lo sé, pero... ¿y lo que mola?

Sobre los números especiales, los matemáticos solemos comentar una anécdota que involucra a dos grandes matemáticos del siglo XX. Uno de ellos era G.H. Hardy, catedrático en Cambridge. Él fue quien descubrió a uno de los pocos autodidactas en matemáticas del siglo XX -y al más brillante de todos-, S. Ramanujan. Este había nacido en la India y, gracias a Hardy, con el que emprendió una fructífera relación, su talento fue reconocido mundialmente. Por desgracia, puede que el clima de Inglaterra no fuera tan beneficioso para la salud de Ramanujan y murió muy joven.

Un día, al llegar Hardy a visitarlo al hospital en el que se encontraba su amigo, le comentó que el taxi que había tomado tenía, según él, un número aburrido sin nada especial, el 1729. Pero Ramanujan le respondió: “no, Hardy es un número muy interesante. Es el número más pequeño expresable como la suma de dos cubos positivos de dos formas diferentes”. Efectivamente 1729=1³+12³= 9³+ 10³. O sea, que el 1729 era, en realidad, un número muy especial.

Vamos a centrarnos solo en los números naturales (los que sirven para contar), que son los que aparecen en los décimos de la lotería. De estos,  el 1, el 2, el 341 y el 1729 son números especiales, pero ¿cuáles son los números naturales más especiales?  O, lo formulamos al contrario, ¿existen naturales que no sean especiales, números que no tengan ninguna propiedad que los distingan de los demás?

Naturalmente la pregunta anterior no deja de ser un poco tonta, pero darle una respuesta desde el punto de vista matemático tiene su interés ya que implica una serie de razonamientos que pueden ser aplicados para otros problemas más serios (y mejor formulados).

Puede ser que existan naturales no especiales o puede que no existan. Supongamos que sí existen porque hay infinitos naturales y parece lógico que tarde o temprano nos quedemos sin propiedades que los distingan.

Llamemos 'S' al conjunto de los naturales que no son especiales. Ahora bien, S es un subconjunto de los naturales y una propiedad fácil de asumir es que cualquier subconjunto de los naturales tiene un primer elemento, el más pequeño de todos.

Llamamos  'C' al primer elemento de S, esto es, C es el primer número natural que no es especial. Oh, espera, ¿no os parece que esta propiedad ya lo hace  suficientemente especial? El primer número natural que tiene una propiedad tan singular por fuerza ha de ser especial y, por lo tanto, no puede pertenecer a S. Y llegamos a una contradicción. Esto es lo que se llama demostración por reducción al absurdo, y con ella llegamos a la conclusión de que no existen naturales no especiales…

Bueno, la realidad es un poco más complicada: no está claro qué significa “ser especial”, pero eso será otra historia.

Y en cuanto a lo de la lotería, mi consejo es, como matemática, que no compren. Pero si lo van a hacer por socializar o por tener una ilusión (razón más que loable en estos tiempos difíciles), hagánlo en su  administración más cercana dado que todas son igualmente buenas o malas y compren el número que les dé la gana, pero sabiendo que todos tienen la misma probabilidad de ser el Gordo: 1/100.000.

Buena suerte, sobre todo el próximo domingo.