IBAN: así se calculan los números de tu cuenta bancaria

Con probabilidad casi 1, el ilustre matemático Carl Friedrich Gauss, allá en los albores del siglo XIX, no imaginaba cuando introducía el sistema de aritmética modular que, en el futuro, este nuevo sistema aritmético se usaría hasta en los bancos. Como tampoco sospecharía la rentabilidad que le sacaríamos a dicha aritmética a la hora de esconder números primos y crear sistemas de criptografía como los que contábamos por aquí hace unos meses.

La aritmética modular se puede entender en una primera aproximación, muy relajada, si identificamos los números como lo hacemos al mirar el reloj. Nuestros relojes analógicos están numerados del 1 al 12, por lo que si alguien nos cita a las 21 horas sabemos que tendremos que llegar a las 9, porque la cuenta que hacemos es 21-12=9, pero 9 es también el resto de dividir 21 entre 12.

Con la notación introducida por Gauss al hablar de aritmética modular, diríamos que 21 es 9, módulo 12, y lo escribiríamos así: 21 ≡ 9 (mód. 12)

Pues eso es casi todo, más o menos. Si queremos trabajar módulo 7, imaginamos un reloj numerado del 1 al 7, y así el 9 será 2, y el 24 será 3. Basta con dividir el número que queremos saber cuánto vale módulo 7, por ejemplo, dividirlo entre 7, y quedarse con el resto.

Este sistema aritmético se usa en el sistema RSA de criptografía y tiene infinidad de aplicaciones más, todas muy interesantes. Mis hijos lo usan para ganar al pito-pito-gorgorito. Ellos son así. Pero hoy nos vamos a quedar con la aplicación de esta aritmética al cálculo del código IBAN.

Cálculo aplicado a tu número de banco

El IBAN se calcula usando su actual código de cuenta cliente (CCC) y unos caracteres especiales asociados al hecho de que su cuenta está en España. Para las que tengáis en Suiza, es diferente. Esto lo digo por si nos lee algún evasor que, como son tantos, una nunca sabe...

Nuestro CCC tiene también dos dígitos de control en el mismo, ocupando la novena y décima posición. También se usa aritmética modular para calcular esos dígitos de control,  trabajando módulo 11. Les cuento rápidamente cómo:

Para el primer dígito de control hacemos lo siguiente:

- Las primeras cuatro cifras de su CCC corresponden a la entidad bancaria, según un registro de entidades del Banco de España. Lo que hacemos es multiplicar esas cuatro cifras de la siguiente manera: la primera por 4, la segunda por 8, la tercera por 5 y la cuarta por 10. Lo sumamos todo y llamamos a la suma A.

- Las siguiente cuatro cifras de su CCC identifican la oficina. Estas las vamos a multiplicar como sigue: la primera por 9, la segunda por 7, la tercera por 3 y la cuarta por 6. Lo sumamos todo y llamamos a la suma B.

- Sumamos A y B y calculamos cuánto vale A+B módulo 11, es decir, dividimos A+B entre 11 y nos quedamos con el resto. Llamamos a este resto C. Solo nos queda calcular 11 menos C, menos el resto obtenido en la división anterior: ese es el primer dígito de control de nuestra CCC (si nos sale 10 ponemos un 1 y si es 11 se pone un 0)

Aunque no lo hemos dicho, también hemos usado aritmética módulo 11 al elegir los factores por los que hemos multiplicado las 8 primeras cifras de su CCC, es decir (4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6), esos 8 factores son, en realidad, los valores de 2², 2³, 2⁴, 2⁵, 2⁶, 2⁷, 2⁸, 2⁹ y 2^{10} (módulo 11). Esto se hace para detectar una posible trasposición de números, por si se escribe 38 en lugar de 83, por ejemplo.

Para el segundo dígito de control hacemos lo siguiente:

- Multiplicamos en orden cada una de las 10 cifras del número de cuenta -son las 10 últimas que aparecen en su CCC- por 1, 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6 -que son los valores de 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵, 2⁶, 2⁷, 2⁸, 2⁹ y 2^{10} (módulo 11), por lo de detectar trasposiciones- y los sumamos todos. Esto sería multiplicar la primera cifra del número de cuenta por 1, la segunda por 2, la tercera por 4, la cuarta por 8... y sumar todos los resultados. Llamamos a esa suma D.

- Calculamos cuánto vale D módulo 11, quedándonos con el resto de dividir D entre 11. Llamamos a ese resto E. Ahora solo queda calcular 11 menos E: ese es el segundo dígito de control de nuestra CCC (y sí, si nos sale 10 ponemos un 1, si nos sale 11 ponemos un 0)

Ya, ya sé que esto lo hace el banco, pero por si se quieren entretener comprobándolo mientras esperan que alguno de ellos les den un crédito.

Vamos con el IBAN, ¿cómo se calcula el IBAN en España? Tendremos que poner 4 caracteres nuevos delante de nuestro CCC, 2 letras y 2 números: estos caracteres serán ES (por España) y 2 cifras que, de nuevo, son dos dígitos de control.

¿Cómo se calculan los dígitos de control?

- Se escriben ES00 seguido de los 20 dígitos de la CCC. Esto nos da una secuencia de 24 caracteres.

- Ponemos los 4 primeros caracteres, ES00, al final, detrás de los de la CCC y sustituimos las letras por números; la E por 14 y la S por 28.

- Calculamos cuánto vale ese número obtenido módulo 97,dividiendo por 97 y quedándonos con el resto, le llamamos R.

- Calculamos 98-R. Y ese es el dígito de control del IBAN, si solo tiene una cifra, le ponemos un 0 delante. O sea, que si 98-R nos queda 4, nuestro IBAN comienza con ES04.

Ya tienen para entretenerse otro rato calculando su IBAN, si les apetece, claro.

Este tipo de control es parecido al que se hace con los números de nuestros DNI, como explicamos aquí, para que no nos pase como a nuestra querida Infanta.

Si Gauss levantase la cabeza y viera lo que ha dado de sí su aritmética modular...