El juego de cartas que ha revolucionado a los matemáticos

¿Saben contar? La mayoría de la gente se ríe, a partir de cierta edad, cuando le hago esta pregunta. Pero contar no es nada fácil. La combinatoria es una disciplina de las matemáticas que se encarga de contar cuántos elementos tiene un conjunto. A primera vista puede parecer una cuestión muy elemental, pero en la práctica se pueden necesitar herramientas muy sofisticadas para poder hacer esos conteos.

Antes de seguir, vamos ver un ejemplo de conteo (en este caso uno muy simple): ¿cuántas parejas pueden hacerse en un grupo de personas?

Es muy fácil de ver que si el grupo inicial de personas tiene dos elementos, sólo podemos hacer una pareja y que si tenemos tres elementos podemos hacer tres parejas. Incluso podemos comprobar en menos de medio minuto que con cuatro personas podemos formar seis parejas. Hasta ahí bien.

Pero si intentamos ver cuántas nos salen si disponemos de 20 personas nos damos cuenta de que es muy difícil tratar de enumerar todas las posibles parejas y que hemos de ser muy cuidadosos si queremos no dejar ninguna sin contar, o contar a alguna dos veces.

En ese caso concreto son 190 las parejas que salen, pero para llegar a ese número no las he contado todas, sino que he utilizado una fórmula bien conocida por los matemáticos desde hace siglos. La misma que nos asegura que en un grupo de 1000 personas podemos hacer 499.500 parejas diferentes.

Propongamos ahora un problema similar: vamos a jugar a las cartas. Concretamente, vamos a jugar al SET de Marsha Falco.

Suponemos primero que nuestras cartas sólo tienen dos atributos: un número y una letra. Por ejemplo, con tres letras y tres números podemos hacer nueve cartas distintas (en este caso para llegar a 9 basta con multiplicar 3 por 3).

Dadas tres de dichas cartas, decimos que forman un set si las tres letras son todas iguales o no se repite ninguna, y lo mismo con los tres números de dichas cartas. Por ejemplo, (A,1), (A, 2) y (A,3) forman un set (tienen las tres letras iguales y los tres números distintos).

La pregunta es: de las nueve cartas originales ¿cuántas podemos escoger sin que formen un set? Es fácil de ver que podemos escoger cuatro sin que formen un set. Por ejemplo podemos escoger las cartas

Les propongo como reto tratar de encontrar cinco cartas sin formar un set ¿es posible?

Es evidente que si añadimos otra característica más, como por ejemplo tres colores distintos, el problema se torna más complicado, de modo que ya sería bastante difícil de ver cuántas cartas podemos escoger entre las 27 distintas de tal forma que no encontremos un set.

Este problema, el de las cartas, puede parecer muy intrascendente, pero no dejaba de ser un entretenimiento matemático y por ello no faltaba quien tratara de descubrir qué ocurría si aumentamos aún más el número de características (tres formas, tres letras griegas...).

Así, en 1971, el matemático italiano Giuseppe Pellegrino probó que para cuatro características se podían encontrar 20 cartas sin formar un set y que en cualquier conjunto de 21 siempre encontraríamos un set. En el juego de cartas SET hay cuatro atributos diferentes y se juega con 81 cartas. Pueden intentar jugar online aquí.

A partir de cuatro características se vio que iba a ser muy difícil encontrar el número exacto más grande de cartas sin set, pero sí que existían algunos resultados que se fueron publicando hasta hace un par de años que establecían que para 'n' características, el tamaño máximo de un conjunto sin set debería ser como 3ⁿ/n.

Así, para 200 características, cualquier conjunto de tamaño un 0,5% del de la baraja total que podemos formar (que es enorme, 3²⁰⁰, un número mucho más grande del que nos podamos imaginar) contendría un set.

Esto no dejaba de ser un divertimento que preocupaba poco, incluso a la inmensa mayoría de los matemáticos. Pero he aquí que a principios de 2016 ha ocurrido algo totalmente sorprendente: no sólo se ha rebajado esa cota de forma increíble (ahora se sabe que para 200 características cualquier conjunto que tenga un tamaño del 0,0000043% del de la baraja contiene un set) sino que dicha rebaja se ha obtenido desarrollando una técnica que es tremendamente simple y que -ahora viene lo verdaderamente importante- proporciona una nueva vía para demostrar multitud de resultados de combinatoria que son muy importantes en sí por su gran aplicabilidad de otras disciplinas.

Dicha técnica consiste en asociar a cada conjunto de cartas unos polinomios -sí, esos que se estudiaban en el instituto- de tal forma que dichos polinomios se anulen en algunos puntos específicos. Además, los matemáticos se han dado cuenta desde abril de este 2016 que esa idea se puede aplicar a muchos problemas.

Esto ha supuesto una verdadera revolución en las matemáticas ya que 'jugando con estas cartas' ha aparecido una técnica sencilla, que usa herramientas nada sofisticadas (en matemáticas las herramientas suelen ser muy especializadas y sólo al alcance de unos pocos) y que puede ser usada para demostrar muchos problemas que permanecían abiertos desde hace décadas (varios propuestos por Erdős, por ejemplo). Y así vemos que genios como Terence Tao o referentes como Galai llevan dos meses contemplando y participando de este tsunami.

Por citar un ejemplo, la multiplicación de matrices es un problema básico en multitud de aplicaciones, desde el procesamiento de imágenes (utilizado en imagen médica, por ejemplo), hasta la simulación de situaciones complejas (predicciones meteorológicas, simulaciones de túnel de viento por ordenador...). Pues bien, parece ser que el nuevo método permitirá desarrollar procedimientos más eficientes (rápidos) para la multiplicación de matrices.

Se avecinan tiempos excitantes para las matemáticas, permanezcan atentos a sus pantallas.