El juego matemático del ángel y el demonio (o cómo retar a tu cuñado en la cena de Navidad)

Se acercan las comidas familiares asociadas a la celebración del solsticio de invierno y estoy casi segura de que todos tememos que algún cuñado nos deleite este año con su vasto conocimiento sobre macroeconomía, pandemias o sondas en Marte. Les propongo un juego matemático de dos jugadores para retar a estos personajes: uno será el ángel y otro el demonio. Dejo a su sabio criterio la elección.

El juego que traemos es  conocido como el Juego del ángel. Este juego fue inventado (o eso dicen) en los años '40 del pasado siglo por David Silverman, aunque tuvo que esperar, como pasó con el Juego de la vida, a que Martin Gardner lo popularizara en los '70 (también del pasado siglo). Aunque, también como el juego de la vida, si hablan del juego del ángel posiblemente mucha gente pensará que es un juego de John H. Conway. Posiblemente, porque fue él el que relanzó en los '80 el estudio teórico del mismo.

El juego viene a ser una versión más sofisticada de ese del ratón y los gatos, ese que se juega en un tablero de ajedrez con una pieza blanca, el ratón y cuatro negras: los gatos que se sitúan sobre en las casillas blancas de lados opuestos, el ratón puede mover a cualquiera de las casillas contiguas blancas y los gatos solo se pueden mover uno cada vez y a una de las dos casillas blancas contigua y que están hacia adelante para él. Este juego es muy simple y se puede ver fácilmente que si los gatos no hacen ninguna tontería, siempre pueden ganar).

En el caso del Juego del ángel se trata de uno para dos jugadores, uno será el ángel y otro el diablo. Se juega en un tablero infinito de ajedrez o, como en el de la vida, en una cuadrícula infinita.

El diablo, en cada turno, se come una casilla, la que él decida, al azar, excepto la que esté ocupada por el ángel. Al ángel le asociamos una cierta potencia, un cierto poder, que será un número natural (ya saben, de los que sirven para contar). Podemos asignarle, por ejemplo, potencia 1 o poder 1. Pues bien, un ángel de poder 1 puede hacer en cada turno 1 movimiento de rey (como en el ajedrez). Si tuviera potencia 2, podría hacer hasta 2 movimientos de rey. Pero siempre sin posarse en ninguna casilla de las que se ha comido el diablo.

En la siguiente figura hemos marcado de amarillo todas las casillas a las que podría volar el ángel, siendo un ángel de potencia 1.

Y en la siguiente, hemos marcado de amarillo todas las casillas a las que podría volar el ángel, siendo un ángel de potencia 2.

Eso sí, el ángel tiene alas y puede sobrevolar las casillas comidas por el diablo. Es decir, que si tenemos una situación como la que nos muestra la figura siguiente, en la que el diablo se ha comido todas las casillas alrededor del ángel y este tiene potencia 2, podrá volar a cualquiera de las casillas que aún siguen en amarillo (que no han sido comidas por el diablo).

Estas son las reglas para los movimientos del ángel y el diablo. El juego termina, bien cuando el ángel no puede hacer más movimientos porque se queda atrapado entre las casillas comidas por el diablo y en ese caso gana este último, bien si el ángel demuestra que tiene una estrategia para escapar del diablo, en cuyo caso gana el alado.

Ya lo tienen. Solo tienen que retar a alguien. Les recomiendo que se pidan ser el diablo y que el ángel solo tenga potencia 1. En otro caso, si su cuñado insiste en ser el diablo, pídanse ser un ángel con mucha potencia.

¿Existen estrategias ganadoras? Efectivamente, puesto que no existe la posibilidad de empate, se sabe que uno de los dos tiene una estrategia ganadora y ya antes de que el juego fuera popular, Berlekamp diseñó una procedimiento para que el diablo ganara en el caso de un ángel de poder 1.

Pero durante mucho tiempo no se sabía quién ganaba (con la mejor de las estrategias) si el poder del ángel era mayor. Tanto es así que Conway llegó a ofrecer premios a aquellos que consiguieran demostrar cuál de los dos contrincantes disponía de estrategia ganadora (100$ si se demostraba que era el ángel y 1.000$ si la balanza se inclinaba por el diablo).

Curiosamente, en 2006 varios investigadores resolvieron completamente el problema de forma independiente y, entre ellos, Kloster dió un método que le permitía ganar siempre al 2-ángel.

Les dejo que lo prueben y, si veo que les pica, otro día les contamos las estrategias ganadoras.