Las matemáticas que usó Pixar en 'Ratatouille'

Hace poco me topé en la página de la 'American Mathematical Society' con este artículo sobre las matemáticas usadas por los animadores de Pixar para los movimientos de los personajes de la película 'Ratatouille'. No vamos a contar lo que ya cuentan ellos, entre otras cosas porque las matemáticas implicadas son más complicadas de las que usamos usualmente en esta casa, pero sí nos va a servir como excusa para tratar de explicar cómo y dónde están presentes las matemáticas y la informática en las películas de animación en general y en las de Pixar en particular.

Muy atrás quedaron los tiempos en los que las películas de dibujos animados se hacían con batallones de artistas que iban dibujando fotograma a fotograma. Hoy en día, como todos sabemos, los dibujos animados se hacen con ayuda (mucha) de los ordenadores. Bien, eso es lo que desde hace tiempo hemos oído, pero, realmente ¿cuál es el papel de los ordenadores en esas películas actualmente? ¿Se limitan a servir de soporte, a ser el lienzo sobre el que dibujan los artistas sobre los que sigue recayendo el rol principal en todo el proceso? Vamos a tratar de aclararlo.

El papel de los ordenadores es mucho más que servir de soporte: son fundamentales en el diseño de los personajes, sus movimientos, los fondos y los movimientos y efectos de las cámaras (en las películas de dibujos actuales los movimientos de las cámaras se asemejan totalmente a las de las superproducciones más costosas de Hollywood).

Empecemos por el diseño de los personajes. Este es el proceso denominado modelado y en él lo que se hace es un trabajo muy parecido al de un escultor: se parte de un cubo (en este caso no es de arcilla) y se le va dando forma y detalle hasta tener totalmente definido nuestro personaje. Veamos algunos detalles de este proceso y en qué medida y cuánto interviene el artista clásico.

El primer paso podría ser definir la figura muy a 'grosso modo'. Empezando por el cubo, añadimos algunos puntos más, los unimos para formar líneas y los vamos arrastrando para empezar a dar forma:

Eso sería el principio del tronco. Ahora, realizamos alguna subdivisión más y añadimos cabeza y piernas (las cuales hemos empezado a modelar partiendo de otro cubo o de un cilindro: otros trozos de arcilla):

 

Ya es cuestión de ir añadiendo detalle (y los brazos), para obtener algo así:

Naturalmente, la figura anterior no es nada artística, pero es fundamental después para definir el movimiento. En este proceso de modelado se pueden definir los nodos que son puntos de articulación, los que son más rígidos... Todos esos datos serán fundamentales a la hora de animar el personaje.

Antes de pasar a la siguiente fase, obsérvese que lo que tenemos son puntos, aristas entre puntos y triángulos o cuadriláteros. Todo se puede almacenar y procesar usando herramientas más o menos elementales de la geometría y del álgebra (aunque ésta jugará un papel más importante en otras fases).

Vamos a tratar de ver qué lugar ocupa el arte. Mientras realizamos lo anterior, un artista dibuja la cara de nuestro personaje. En principio, tendremos al menos dos vistas del carácter (si queremos que tenga una imagen tridimensional). Esos dibujos los copiamos en nuestro programa de diseño y vamos haciendo lo mismo que que hemos hecho anteriormente pero ya de manera más fina:

Es importante aquí, para lograr el efecto tridimensional, que cuando creemos un punto en la imagen frontal, creemos el mismo en la lateral e indiquemos al programa que son el mismo, de forma que creará un punto con tres coordenadas en lugar de las dos de una pantalla de ordenador.

Seguimos este proceso y definimos todos los detalles -saltamos muchos de los elementos más complicados, como el pelo y la ropa, pero aclaro que hay módulos (basados en ecuaciones extraídas de la física y usando mucha geometría) que permiten un diseño totalmente fotorrealista de esos elementos-.

Después de este paso, nuestro personaje estaría perfectamente modelado y tendríamos algo así:

La siguiente fase sería dotar de movimiento a nuestro muñeco. La forma más simple de hacerlo es dándole un esqueleto muy similar al de los humanos o animales. Así, tenemos el personaje y su esqueleto y lo que haremos es moverlo, lo cual es muy simple porque tenemos que definir la trayectoria de pocos puntos. Con él se movería solidariamente el resto del modelo.

Un ejemplo viene dado por la siguiente figura:

Para definir el movimiento, lo hacemos es dar las curvas que describen unos cuantos de dichos puntos del esqueleto que son nuestras 'anclas'. Se han estudiado en bastante profundidad dichas curvas de movimiento y pueden tener una expresión matemática más o menos complicada, porque un pequeño animador puede hacer esos movimientos a mano (o utilizando módulos creados por otros), pero los grandes estudios suelen tener funciones que imitan de forma más efectiva los movimientos de personas o animales.

En este sentido, Pixar ha declarado que suele utilizar un tipo de aplicaciones llamadas funciones armónicas, las que se explican en el artículo que mencionábamos al principio.

El modelado de los escenarios es relativamente similar al descrito aquí para los personajes, y las cámaras también se modelan (cada cámara y lente viene definida por lo que se conoce en matemáticas como una matriz 4x4, un cuadrado con 16 números). La iluminación también podemos simularla matemáticamente (de nuevo son matrices y vectores y se aplican las leyes de la física que vienen determinadas por operaciones simples entre dichas matrices y vectores), y todo ello nos permite tener todos los elementos como puntos del espacio, relaciones entre dichos puntos (y texturas asociadas a los “parches”), funciones definidas sobre dichos puntos y poco más.

Pero para ello hemos necesitado de la geometría, la combinatoria, el álgebra lineal, el análisis... y un toque de algún artista.

Y así es como, en líneas muy generales, gracias a las matemáticas y la informática hemos pasado de tener personajes con el pelo tieso como la Blancanieves de Disney a la maravillosa melena rizada de Mérida en la película 'Brave' de Pixar.

O de los movimientos torpes del ratoncito Gus de 'Cenicienta' a la chulería del chef de Rataouille