Posiblemente, la fórmula más bella del mundo

Es fácil pensar que los matemáticos, cuando hacen su trabajo, están concentrados en resolver problemas de forma rigurosa y eficiente, sin preocuparse lo más mínimo por la belleza de los resultados que van obteniendo en el proceso.

Bueno, claro, es de lo que se trata, pero parafraseando a G.H. Hardy (el inglés del que, probablemente, me habría enamorado), los modelos matemáticos, además de ser válidos, al igual que los de un pintor o un poeta, deben ser hermosos; las ideas, como los colores o las palabras, deben ensamblarse de una forma armoniosa. La belleza es la primera señal, pues en el mundo no hay un lugar permanente para las matemáticas feas.

Ya, Hardy era matemático y cuando escribió eso estaba precisamente haciendo apología de las matemáticas. Pero también don Fernando Pessoa, uno de los poetas más importantes en lengua portuguesa, supo ver la belleza en las fórmulas, tanto que llego a afirmar aquello de:

“El binomio de Newton es tan bello como la Venus de Milo; lo que hay es menos gente que se dé cuenta de ello”

Sin poner en duda la belleza del citado binomio, hoy quiero resaltar, como se decía en la introducción, la belleza de la fórmula de Euler. Para mí gusto, la fórmula más bella del mundo.

Si se fijan en la fórmula, en ella aparecen los 5 números más importantes en la historia de las matemáticas. El 0 y el 1 que, entre otras aportaciones a esta disciplina, son famosos por ser elementos neutros y, por lo tanto, indispensables en las operaciones de suma y producto; los números π y e, posiblemente, los dos irracionales más famosos (junto con φ, la razón aúrea) que existen (y que nos permiten hacer el chiste aquel de que la parte más irracional de nuestro cuerpo es el pi-e); y la unidad imaginaria, i, cuyo valor es

Sí, esta es la i que nos acarreó tantos complejos...

No me dirán que la citada ecuación no es una forma elegante y hermosa de relacionar a estos 5 números, usando, suavemente, las operaciones elementales de suma, producto y exponenciación. Sí, debería estar expuesta en las paredes de los museos. Es tan perfecta, armoniosa... bella.

Ni siquiera el arte callejero ha podido escapar de la fascinación de esta maravilla:

Pero volviendo a los 5 números protagonistas de nuestra ecuación, todos ellos, por su singularidad, han sido objeto, aparte de su importancia en las teorías matemáticas, de chistes y otras gracias. Hay pocos chistes sobre , a pesar de que su irracionalidad es conocida desde tiempo de Pitágoras.

Sobre el 0 y el 1 y su triste vida como elementos neutros ya se habló aquí. Sobre la conversación entre la unidad imaginaria i y el número  π habrán visto el siguiente chiste por doquier...

Pero chistes aparte,  π y e han servido de inspiración para multitud de trabajos tratando de dar una aproximación de su valor con el mayor número posible de cifras decimales exactas. Ambos son, como hemos dicho, números irracionales y, por lo tanto, tienen infinitas cifras decimales que no se repiten en forma de periodo.

Déjenme que hoy me fije solamente en unas aproximaciones un tanto especiales de estos dos números; aproximaciones pandigitales, esto es, hay que dar una aproximación de estos irracionales usando todos los dígitos del 1 al 9.

En el caso de  π y en 2004, B. Ziv propuso esta fórmula pandigital (usando todos los dígitos del 1 al 9) para aproximar dicho irracional:

El caso es que esta expresión, si la calculamos, nos da correctamente el valor de  π, con 9 cifras decimales exactas. Es decir, el valor que obtenemos coincide con el valor de  π en sus 10 primeros dígitos. Sorprendente, ¿no? Bueno, sin quitarle el mérito a Ziv, yo creo que hay una mijita de trampa, porque cuando escribe en su fórmula .3, .6 o .8, en realidad está escribiendo 0.3, 0.6 y 0.8.

Un poco más tarde, en ese mismo año, G.W. Barbosa, nos daba esta esta otra aproximación pandigital, menos tramposilla, y que coincidía con  π en 17 dígitos:

Eso sí, la de Barbosa es un poco más complicada de recordar.

Ahora, agárrense a sus asientos, porque para el número e, ese mismo año, Richard Sabey, presentó una aproximación pandigital (usando los dígitos del 1 al 9), esta:

Una aproximación sin la trampa de Siv, más bonita, en mi opinión que la de Barbosa y que aproxima al número e, irracional donde los haya con, atención,  18.457.734.525.360.901.453.873.570 cifras decimales exactas . Toma ya.

Y es que  π es más escurridizo que e...

Les dejo aquí, por si quieren ir pensando en alguna aproximación pandigital de algún irracional o, si lo prefieren, les invito a jugar a jeroglíficos de cine y matemáticas en esta página. Seguro que adivinarán enseguida que el primero es Matrix; pero, si miran el título de este artículo, también sabrán adivinar el último ;-)