El problema del sofá: ¿podré sacarlo por el pasillo?

Estamos a principio de año, tiempos de cambios y de ambiciosos propósitos. Los hay que deciden apuntarse a un gimnasio, los más a una academia de inglés y unos pocos, a los que les ha quedado dinero tras las fiestas, a cambiar los muebles de casa. Ninguno de los tres propósitos es simple, pero como esto va de mates, no hablaremos ni de inglés ni de gimnasios, aunque es posible, eso sí, que cabemos sudando.

Vamos a ponernos un reto no muy difícil: supongamos que queramos mover un mueble a lo largo de un pasillo ¿cómo de grande puede ser dicho mueble?

Pues sí, aunque parezca mentira, este es un problema que también han considerado los matemáticos, entre otras cosas porque tiene aplicaciones en robótica (movimientos de robots) y que nos depara más de una sorpresa. Estamos ante el problema del sofá.

Para simplificar la cuestión, y puesto que podemos suponer que los robots se mueven por el suelo, es más fácil considerar el caso de dos dimensiones: un pasillo será el terreno comprendido entre dos líneas rectas y nos preguntamos si cierta región plana (que representa a nuestro sofá) cabe por dicho terreno.

Si el pasillo es recto, la respuesta es conocida desde hace más de 30 años. No voy a dar los detalles, solo unas palabras clave por si alguien quiere profundizar un poco más: basta con calcular la anchura del mueble como sigue. En la siguiente figura tenemos en azul el pasillo y en amarillo el presunto sofá que pueden llamar, por su atrevido diseño, sofá Pythagausseulerdöska.

La solución, en este caso, en el de dos dimensiones,  tiene dos pasos fundamentales. En el primero de ellos lo que hacemos es calcular la envolvente convexa del mueble, rellenando los huecos tal y como aparece en la figura siguiente. Intuitivamente, pueden pensarlo como que rodean todo el sofá con una banda elástica, ya que la envolvente convexa es la forma que adoptaría dicha banda.

A continuación,  calculamos las dos líneas paralelas más cercanas que encierran a dicha figura (la envolvente convexa del sofá). Esto se puede hacer calculando la distancia entre cada segmento del borde (de la banda elástica) y el vértice más alejado a la línea que determina dicho segmento. O bien pensando en usar la misma técnica de calibre que usan los fontaneros para medir tubos, por ejemplo.

Si la distancia entre esas dos paralelas es menor que la anchura del pasillo, entonces nuestro mueble cabe, en otro caso, no. Y la solución en ese caso, en el caso de que no quepa, la dejo a gusto del usuario.

Naturalmente la cosa se complica si tenemos un pasillo que no es recto. En 1996, el matemático Leo Moser se preguntó cuál era la figura de área máxima que podríamos pasar (girar) por un pasillo en forma de “L” y de anchura de un metro.

A poco que lo piensen, pueden sospechar o pensar que un semicírculo de radio un metro, que puede girar en esas condiciones, es el objeto de mayor área que podemos transportar, área que, por cierto vale π/2≈1,570796….

Pero no, John Hammersley (matemático, por cierto, experto en la percolación) encontró un “sofá” de área mayor que también cabe por ese pasillo, el que vemos en la figura siguiente:

El 'sofá' de Hammersley tiene forma de auricular de los teléfonos de antes y sus componentes son arcos de circunferencias y segmentos de rectas y tiene un área de π/2+2/π≈2,2074… Mayor que la del semicírculo de radio 1 que decíamos antes.

Sin embargo, este no es el mayor objeto que podemos mover por ese pasillo. En 1991,  Joseph L. Gerver diseñó una complicada modificación del anterior que tenía un área mayor:

En el 'sofá' de Gerver ya no tenemos arcos de circunferencias y segmentos, sino curvas más complicadas (siguen existiendo segmentos) y su área es de 2.219531669, que sigue siendo el récord hasta el momento. Desde entonces, nadie ha conseguido demostrar que este sea el sofá de mayor área o encontrar otro mayor.

Fascinante, ¿no creen? Claro que todos estos maravillosos retos para la mente los eclipsan rápidamente unos fabricantes de muebles nórdicos que te venden el sofá por piezas en cajas del tamaño de las de zapatos. Ay.