Rompecabezas para la vuelta al cole: adivina qué número soy

Acaba de comenzar el curso en nuestros centros educativos y estamos en esos días en los que se repasan conceptos del año pasado y en los que, sobre todo, hay que animar al alumnado a comenzar con energía y con ganas de aprender y descubrir. Ahora que están más relajados, les propongo un rompecabezas para ir calentando motores con lógica y un poco de combinatoria. Si no son profesores, pueden usarlo en una reunión familiar o de amigos para pasar un rato ameno intentando descifrarlo.

El problema consiste en adivinar un número. No sé a ciencia cierta quién es el autor de este pasatiempo (nunca mejor dicho), ya que hace algún tiempo que corre por diversos blogs. Lo podemos contar así:

¿Quién soy? Soy un número que cumple ciertas propiedades. Te voy a dar una lista con 5 pares de pistas. De cada par de pistas, solo una es verdadera, la otra es falsa. Por ejemplo, la pista 1 serán 2 pistas: pista 1.a. y pista 1.b. Solo una de ellas es la verdadera pista 1. Es decir, que tú tendrás que decidir cuáles son las verdaderas 5 pistas y quién soy yo.

Pista 1a.- tengo dos dígitos.

Pista 1b.- soy par

Pista 2a.- contengo un 7

Pista 2b.- soy primo

Pista 3a.- soy  el producto de dos números impares consecutivos

Pista 3b.- soy  el siguiente de un cuadrado perfecto.

Pista 4a.- soy  divisible por 11.

Pista 4b.- soy  el siguiente de un cubo perfecto.

Pista 5a.- soy  un cuadrado perfecto

Pista 5b.- tengo  tres cifras.

Así a primera vista parece un poco lioso, pero vamos a tratar de ir resolviéndolo poco a poco.

Lo primero que tenemos que saber es cuáles son las pistas correctas, y para ello vamos a ver primero cuántas combinaciones posibles de pistas tenemos. Para ello representamos las posibilidades como vectores de 5 coordenadas.

Por ejemplo, el vector (a,a,b,b,a) representa a la combinación (en realidad se llama variación) de la pista 1.a, la pista 2.a, la pista 3.b, la pista 4.b y la pista 5.a. Dicho de otro modo, el valor de la primera coordenada representa la opción elegida para la pista 1, la segunda coordenada la opción para la pista 2...

¿Cuántas combinaciones (variaciones) distintas hay? Pues no muchas en realidad: como tenemos que hacer listas con 5 elementos y estos elementos pueden tomar 2 valores distintos (a o b) tendremos 2⁵ listas diferentes. Vamos a escribirlas todas.

De esta misma forma se calcula, por ejemplo, que hay 3¹⁵ quinielas diferentes, porque hay que dar una lista de 15 elementos que pueden tomar 3 valores (1, X o 2).

Seguimos. Tenemos por lo tanto 2⁵, es decir, 32 posibles combinaciones de pistas y tenemos que decidir cuál de ellas es la que nos lleva a un número concreto. Ese sería un método, claro, pero se puede depurar un poco.

Lo primero en que nos fijamos es que hay pistas que son incompatibles porque no se pueden dar a la vez en un número. Por ejemplo, lo más fácil es darse cuenta de que las pistas 1a y 5b no se pueden dar a la vez: una dice que el número tiene 2 dígitos y la otra que 3. Por lo tanto podemos eliminar 8 combinaciones, todas aquellas que contengan la pista 1a y 5b, todas las de la forma (a,X,X,X, b).

Las eliminamos y tenemos 8 listas menos que examinar.

Otras dos pistas incompatibles son la 2b y 3a: un número no puede ser primo (un número es primo si solo se puede dividir por 1 y por el mismo) y a la vez ser el producto de dos impares consecutivos (puesto que estos serían dos divisores de dicho número distintos de 1). Bueno, esto se da solo con el 3, pero el 3 no puede ser solución del acertijo porque no cumple ninguna de las dos opciones de la pista 1.

Eliminemos, entonces, todas las listas con una b en la segunda coordenada y una a en la tercera, (X, b, a, X, X). Algunas de estas ya estaban eliminadas en el paso anterior.

Ya nos van quedando menos posibilidades. Seguimos.

También son incompatibles la pista 2b y la 5a. Si un número es un cuadrado perfecto (es el cuadrado de un número) no puede ser primo porque tendría divisores distintos de 1. Por ejemplo, 16 es el cuadrado de 4 y se puede, por lo tanto, dividir por 4. Así que nos quitamos del medio todas las variaciones de la forma (X,b,X,X, a). Las que queden, claro, algunas ya habían sido eliminadas.

Vamos. También son incompatibles la pista 3b y la 5a: no puede ser un cuadrado perfecto y  la vez el siguiente de un cuadrado perfecto porque no hay cuadrados perfectos que disten una unidad. Así que fuera todas las variaciones del tipo (X,X,b,X,a) que queden en la tabla.

Tampoco se pueden dar a la vez la 1b y la 2b: el 2 es el único número primo para hacerlo posible, pero no es solución porque no satisface ninguna de las 2 opciones de la pista 2. Así que, hala, fuera todas las variaciones (b,b,X,X,X) que queden en la tabla.

Seguimos que nos quedan pocas. La 1b y la 3a también son incompatibles: el producto de dos números impares es un número impar, así que borramos las variaciones (b,X,a,X,X) que queden.

Ningún número primo es divisible por 11, salvo el 11, que no es solución porque no cumple ninguna de las opciones de la pista 3, así que la 2b y la 4a también son incompatibles y eliminamos las (X,b,X,a,X) que queden.

Ops, ya no quedan. No pasa nada. Ya tenemos solo 4 opciones en la tabla.

Lo vamos a resolver fijándonos en las pistas que son, en mi opinión, más relevantes para encontrar la solución: 3b y 4b. Porque cuando leí el problema no hice esta tabla (las he hecho ahora para que se puedan contar en institutos y/o barbacoas familiares) sino que me pregunté qué números eran a la vez un cuadrado perfecto y un cubo perfecto. Efectivamente, cualquier número elevado a 6.

Por ejemplo, 2⁶ es el cubo de 2² y el cuadrado de 2³. Y así con todos. Probé con 2⁶ + 1, 65, (para cumplir las pistas 3b y 4b) y comprobé el resto de las pistas. El 65 no vale porque no cumple ninguna de las opciones de la pista 2. Probamos con 3⁶+1, 730. ¡Bingo! Cumple las pistas (b,a,b,b,b). Ya tenemos la solución.

¿Hay más soluciones? Eso les voy a dejar que lo piensen un poco. Estaré por aquí cerca para leer sus respuestas.