Series que sí terminan como tú quieras (numéricas, claro)

Alguna vez seguro que nos hemos sentido frustrados ante nuestra incapacidad para resolver alguno de esos pasatiempos en los que se nos pide que encontremos el siguiente de una cierta serie numérica. Aquí te damos una regla infalible y muy sencilla para completar dichas series: di cualquier número.

Efectivamente, existe un resultado matemático que nos asegura que para cualquier serie numérica finita le podemos añadir un número cualquiera a continuación y siempre existe una regla sencilla que hace válido a dicho número como el siguiente de la serie.

Claro que tendríamos que decir qué entendemos por “regla sencilla”. Por ejemplo, si consideramos la siguiente serie de números:

1 1 2 3…

Y se nos pide qué número sigue, más de uno dirá que 5, puesto que la anterior podría ser el comienzo de la sucesión de Fibonacci en la que cada número se obtiene como la suma de los dos anteriores. Y, por lo tanto, la sucesión sería:

1 1 2 3 5

Pero digamos cualquier otro número, podríamos poner otra vez el 3 por ejemplo, con lo que veríamos que existe una regla que haría de '1 1 2 3 3' una sucesión “razonable”. La regla podría ser “escribir los números naturales repitiendo los impares” y obtendríamos esta segunda secuencia.

Una regla que los matemáticos solemos considerar muy sencilla es un polinomio. Por ejemplo, x²+2x+1 es un polinomio y podemos obtener los términos de una sucesión sustituyendo la x por los números naturales 1, 2, 3, 4…

Para nuestro ejemplo, si P(x)=x²+2x+1, entonces los primeros términos de la sucesión que genera ese polinomio serían 4, 9, 14… Y si se nos pide el siguiente término de la sucesión, bastaría con sustituir x por 4 y obtendríamos 25.

Un ejemplo más simple puede ser Q(x)=x²-x, que daría lugar a la sucesión 0, 2, 6, 12…

Ahora viene lo importante: existe un resultado matemático demostrado por el matemático inglés Edward Waring en 1779 -aunque toma su nombre del  italiano Joseph-Louis Lagrange (originalmente Giuseppe Lodovico Lagrangia) que lo publicó en 1795- que nos dice que dada cualquier secuencia finita de puntos existe un polinomio que toma en 1, 2, 3, 4… los valores de dicha secuencia.

¿Qué quiere decir esto?

Pues que si nos dan una secuencia finita de números de la longitud que sea, siempre podemos añadir el número que nos dé la gana a continuación con entera libertad, ya que existe un polinomio que nos genera los números que nos han dado como dato y el que hemos escogido.

Lo curioso es que estos polinomios, llamados interpolantes, se usan para problemas matemáticos mucho más interesante que encontrar la lógica de una secuencia finita de números, y son fundamentales para resolver con ordenadores ciertas integrales que serían muy difíciles de encontrar por otros métodos -y recordemos que las integrales son útiles en prácticamente todas las ramas de las ciencias y las tecnologías-.

Si tienen ganas de aprender a calcular estos polinomios interpolantes, aquí nuestra amiga Mati lo explica. Así, imaginemos que alguien te pidiera que continuaras esta serie

1 4 7 8 12

Lo único que tendrías que hacer es calcular el polinomio interpolador que pase por los puntos (1,1), (2,4), (3,7), (4,8) y (5,12). Una vez calculado este polinomio, sustituyes x por 6 y tienes el siguiente número de esta serie. Mola, ¿no?

Por último, os voy a recomendar una página web que es 'La Enciclopedia On-Line de las Secuencias de Números Enteros'. Es un sitio muy interesante en el que podemos poner casi cualquier secuencia de números que se nos ocurra y nos va a dar una o varias secuencias infinitas de la que forma parte la nuestra y que son relevantes por alguna propiedad matemática destacada.

Así, si metemos la secuencia 1,1,2,3,3 que aparecía al principio de este artículo, nos dice que hay 719 secuencias significativas de las que forma parte, la primera de las cuales toma su nombre del matemático Douglas Hofstadter -a quien también homenajea la serie 'The Big Bang Theory', dando su apellido a uno de los dos principales protagonistas- y que es la que sigue: 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 9, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 12…

Pues nada, ya pueden cuñadear un poco en el café apostando que son capaces de continuar cualquier serie que les pongan por delante.