Teoría del caos y matemáticas: mariposas que aletean cerca del Egeo

En estos días, por motivos más que justificados, todos miramos hacia Grecia, cuna de la civilización occidental y de muy buenos matemáticos, por cierto. Algunos, temerosos de perder su privilegiado 'status', nos alertan con mensajes apocalípticos del caos que se cierne sobre nuestro mundo tras los resultados electorales en este país del Mediterráneo. Es aquello de que si aletea una mariposa en Atenas puede caer un tormentazo en Valencia. Hasta donde yo sé, en política no se pueden encontrar ecuaciones matemáticas para predecir el futuro a partir de perturbaciones en las condiciones iniciales, pero sí que las matemáticas se han ocupado y se ocupan de estudiar la teoría del caos con resultados muy sorprendentes.

Todos los fenómenos físicos que sabemos describir pueden ser modelados en términos de ecuaciones matemáticas. No hace mucho, en esta misma casa, hablábamos de la bella ecuación que nos regaló Dirac para describir el comportamiento de partículas cuánticas de forma consistente con la relatividad especial y que hoy nos permite diagnosticar cáncer.

Pues bien, en ocasiones, muchas de estas ecuaciones son muy sensibles a pequeñitas variaciones en los datos de entrada. Es decir, que al variar mínimamente los valores iniciales, es difícil pronosticar cuál será el resultado a la larga de esa variación, qué y cómo afectará ese pequeño aleteo de los datos iniciales. Son ecuaciones que describen fenómenos caóticos, que son difíciles de pronosticar con exactitud.

¿Qué es exactamente el efecto mariposa? Este término se lo debemos a un matemático y meteorólogo estadounidense: Edward Lorenz. Lorenz trabajaba, en su faceta de meteorólogo, usando un programa que, tras proporcionarles unos cuantos datos actuales, podía predecir el clima en un tiempo futuro (usando para ello, el programa, simulación numérica y resolviendo las ecuaciones del clima). Por alguna razón, un día en 1961, nuestro amigo Edward quiso repetir unos cálculos que ya había hecho con el mencionado programa. Como quiera que solo le interesaban los resultados a partir de un cierto instante y no desde el principio, y puesto que el programa necesitaba su tiempo de ejecución, decidió adelantar faena usando datos intermedios obtenidos con su programa. Lo lógico era esperar que los resultados fueran los mismos, claro. Pero no fue así. No, porque, ¡oh, sorpresa!, la evolución con aquellos datos intermedios era absolutamente distinta (en realidad, al principio eran parecidos, pero a medida que avanzaban los cálculos iban difiriendo cada vez más).

¿Por qué? ¿Qué había ocurrido? Sencillamente que el programa de previsión meteorológica que usaba Lorenz, auque solo mostraba resultados con 3 cifras decimales, internamente trabajaba usando 6. Así que cuando Lorenz introdujo como dato intermedio 0,506, estaba introduciendo un número diferente al que el ordenador tenía en memoria la primera vez, que era el 0,506127. Pero, pensarán ustedes, la diferencia es mínima, es de 0,000127, eso no es ná. Efectivamente, era algo casi imperceptible, como el aleteo de una mariposa, pero que había desencadenado un comportamiento radicalmente distinto en la previsión climatológica.

Lorenz acababa de descubrir el caos: sistemas de los cuales se puede saber las ecuaciones que lo rigen, pero que exigen una infinita precisión para resolverlos con fiabilidad.

Sin duda, unos de los ejemplos más comunes de comportamiento caótico es el del clima, y también en esta casa nos ocupamos de él y tratamos de explicar un poco cómo se las apañan los meteorólogos para hacer sus previsiones a pesar de tanta incertidumbre.

Otro de los ejemplos más conocidos de estos comportamientos caóticos, difíciles de pronosticar, es el de la dinámica de fluidos como, por ejemplo, el viento. Y cuyo control, de resolverse las ecuaciones que lo rigen, revolucionaría nuestros medios de transporte en general, y la Fórmula 1 en particular, como también comentamos en su día.

Pero dejénme que les cuente alguno más. Uno de los comportamientos caóticos más fáciles de intuir, al menos gráficamente, es el del doble péndulo. Se trata de construir un péndulo colgado de otro, un sistema físico aparentemente muy simple y que, con toda la Física que ya sabemos, deberíamos saber describir. Pues bien, aunque su comportamiento está perfectamente descrito por ecuaciones, este simple artilugio presenta un comportamiento caótico, como se ve en la siguiente ilustración.

En la imagen de la izquierda, soltamos el doble péndulo, desde la horizontal, formando un ángulo de 0º con el eje horizontal, mientras que en el de la derecha soltamos el doble péndulo con el péndulo rojo en horizontal y el azul formando un pequeñito ángulo de 0,1 radianes (entre 5º y 6º).

Pueden observar que los primeros movimientos de ambos sistemas, el de la derecha y el de la izquierda, son muy parecidos, pero que muy pronto empiezan a ser radicalmente distintos. Esto es el caos. Una pequeña variación al principio, en las condiciones iniciales, un angulito de menos de 6º, ha provocado un comportamiento posterior totalmente diferente.

También se puede observar el caos mirando un grifo que gotea: cada gota cae en función del agua dejada por la gota anterior y por una serie de magnitudes físicas, sin embargo, es imposible predecir a largo plazo cada cuánto tiempo caerá cada una gota. Estudiar el comportamiento del clima es complicado para cualquiera, pero contar el tiempo que transcurre entre gota y gota no lo es tanto: os animo a hagáis el experimento y tratéis de encontrar patrones.

Como resumía Lorenz, el caos se da cuando el presente puede predecir el futuro, pero un casi presente (un presente con algún cambio pequeñito) no predice un casi futuro.

¿Qué tiene todo esto que ver con la política y con los resultados electorales en Grecia? Nada, creo. Ya ven qué poco ha afectado a la composición de nuestro gobierno los aleteos de Gürtel o de Bárcenas. Y afortunadamente, añado, porque, en otro caso, no quiero pensar qué efecto tendría en Europa el hecho de que la tercera fuerza política de la cuna de nuestra civilización sea un partido neonazi.