El acertijo de las tres princesas

Hace unos días, husmeando en el perfil de Google+ (sí, existe y a mí me gusta) de uno de los mayores genios de las matemáticas en la actualidad, Terence Tao, me encontré con el acertijo de las tres princesas. Me encantó. Y puesto que las cosas están por el país que da grima hablar de política y corrupción, me pareció una buena idea compartirlo con ustedes sin más interés que proporcionarle un rato de distensión y un rompecabezas inocente que compartir a la hora del vermú. Tentada estuve, todo hay que decirlo, de versionarlo como el problema de las tres infantas, pero me faltaba una. Y menos mal, porque las dos que tenemos ya nos dan suficientes dolores de cabeza…

En fin, el acertijo que propone Tao es el siguiente:

"Estamos en la Edad Media y eres un soltero codiciado de un reino, así que puedes elegir para casarte con una de las tres hijas del rey. El problema es que la mayor siempre dice la verdad, la menor siempre dice la mentira y la otra es errática: a veces dice la verdad, a veces no. Y, para empeorar las cosas, las tres son muy parecidas y no eres capaz de distinguir sus edades. El rey solo te permite formular una pregunta a una de ellas (tú no sabes distinguirlas como hemos dicho) y además tiene que ser una pregunta cuya respuesta sea “sí” o “no”. Aunque lo ideal sería escoger a la que siempre dice la verdad, tampoco es tan grave escoger a la que siempre dice la mentira ya que muy pronto se puede averiguar que ese es su comportamiento y diga lo que diga entenderemos que la respuesta cierta es lo contrario de lo que dice. Estamos perdidos si escogemos a la de en medio, porque no sabremos a qué atenernos. ¿Qué pregunta hemos de formular?"

Efectivamente, a muchos de ustedes les habrá recordado un viejo acertijo, el de las dos puertas y los dos guardianes, aquel que se formulaba así:

"En una habitación hay dos puertas y dos guardianes, uno en cada puerta, se sabe que una de las puertas conduce a la salvación y la otra a la muerte y se sabe también que uno de los guardianes siempre dice la verdad y el otro la mentira, pero se ignora cuál. ¿Qué pregunta se ha de formular a uno de ellos para poder escoger siempre la salvación?"

Si no conocen este problema clásico, merece la pena pensarlo un poco. Después de esta línea voy a dar una pista.

La idea de la solución es tratar de encontrar una pregunta que involucre tanto al que dice siempre la verdad como el que dice la mentira.

Ahora es el momento para que piensen un poco sobre esa pista ya que después de este párrafo voy a dar la solución.

La idea es acercarte a uno de ellos y preguntarle: "¿qué me diría el otro si le pregunto cuál es la puerta que conduce a la salvación?"

Efectivamente, si le preguntamos al honesto, sabrá que el otro nos va a mentir, por lo tanto el honesto señalará a la puerta que conduce a la muerte. Pero si le preguntamos al que siempre miente, nos engañará sobre la respuesta que nos dé el otro y por tanto también señalará a la muerte. Así los dos nos indicarán la puerta mala y, por tanto, tenemos que escoger la otra.

Este ya se lo sabían, ¿verdad? Pero, ¿qué hacemos con el rompecabezas de Tao? Bueno, en realidad, el propio Tao reconoce que no es suyo el acertijo sino que está copiado de aquí.

¿Qué princesa elegimos (si son indistinguibles) y qué pregunta (con respuesta “sí” o “no”) le formulamos para no escoger a la mediana que es imprevisible?

Como antes, voy a dar una primera pista.

Vamos a elegir a una de ellas, la que sea y la vamos a descartar. Es a ella a la que le formularemos la pregunta y, en función de su respuesta, elegiremos a una de las otras dos. Les recuerdo que hay dos elecciones igualmente buenas para nosotros: la pequeña o la mayor, solo la mediana nos sumiría en una vida de desconcierto y dudas. Por lo tanto, a la descartada, le vamos a hacer una pregunta, como en el caso de los dos guardianes, que involucre a las otras dos y que elimine a la mediana (si está entre ellas).

No sé si la pista anterior es suficiente. Creo que este problema es un poco más difícil y, por tanto, voy a dar otra pista.

El dato de las edades (o las edades relativas entre ellas) es más importante de lo que puede parecer a simple vista ya que permite ordenarlas. Así que vamos a hacer la pregunta tratando de averiguar  dicha ordenación en las dos hermanas restantes.

¿Lo tienen ya? Bueno, va, es hora de dar la respuesta.

Se acercan a una de ellas (la que van a descartar), señalan a una de sus dos hermanas y le preguntan si esa es la más joven de las dos.

Vamos a ver qué ocurre examinando todas las posibilidades.

En primer lugar, es importante señalar que si a la que preguntamos es a la mediana, sus respuestas no nos interesan demasiado: vamos a escoger una de las otras dos en cualquier caso. Por tanto, si encontramos un patrón fijo que nos sirva para las posibles respuestas en el caso de descartar a la mayor y a la menor, lo aplicaremos para las tres.

Si preguntamos a la más joven (que siempre miente), señalamos a la mediana y le preguntamos: “¿es ella la más joven de las dos?” La pequeña mentirá y dirá que no. Si señalamos a la mayor (que es la que nos interesa en este caso) dirá que sí.

Si preguntamos a la mayor (que siempre es honesta) señalando a la menor (que es la que nos interesa en este caso) y le hacemos la pregunta nos dirá que sí, que es la menor de las dos y si señalamos a la mediana (que es la que queremos evitar) nos dirá que no es la más joven de las dos.

Luego, en estos dos casos, la respuesta que nos conviene es “sí”.

Si a la que preguntamos es a la mediana, como ya hemos dicho, sus respuestas no nos afectan, porque nos lleven a donde nos lleven, nos llevarán a la pequeña o a la mayor, que nos parecen una buena solución ambas. Así que para repetir el patrón, nos quedaremos con la con la señalada si dice sí y si dice no con la otra.

Resumiendo: se trata de descartar a una al azar y señalando a una de sus dos hermanas preguntarle si esa es la más joven de las dos. Si dice sí, nos quedamos con la que hemos señalado y si dice no, escogemos a la otra.

Hermoso, ¿no? Creo que no es necesario aclarar que no es más que un juego de princesas y que lo he dejado tal y como lo cuenta Tao en su perfil de Google+, pero es perfectamente adaptable a que sea una soltera codiciada la que elija entre los tres hijos varones de un Rey o entre las tres hijas del Rey; o un soltero entre los tres hijos varones, o un soltero de cualquier sexo eligiendo entre los tres hijos de todas las combinaciones posibles de sexos… Que no soy yo quién para dar consejos a nadie, que ya les conté que los consejos no son buenos para la evolución.

Eso sí, mi pequeña pega al acertijo, si nos ponemos quisquillosos, es que yo elegiría al errático porque, no sé, puede ser más emocionante tratar de aprender a conocerlo y descubrir, sin más que mirar a sus ojos, si nos está mintiendo o diciendo la verdad. Pero, posiblemente, siempre peco de romántica.